MALİ CEBİR

Finansal Matematik

 

Tanımlarında farklılıklar olmasına rağmen “faiz, getiri oranı, finans matematiği ve paranın zaman değeri” kavramları çok iç içe girmiştir ve karıştırılmaları pek olağandır.

 

Finansman teriminin türlü çeşitli anlamı vardır. “Finansman”ın en basit tarifi, “doğru iş için, doğru miktar – zaman –maliyet ile gerekli kaynağı bulmak ve bunu kullanmak” işidir. Matematik ise, okullarımızda "çok zor!" olduğu söylenen derslerden biridir; bu yazı kapsamında matematikten kasıt ise esasen aritmetik'tir. Yani bu yazının konusunun doğru ismi, finans aritmetiği olmalıydı.

 

Finans kavramı, “özel, işletme ve kamu” olmak üzere farklı üç alanın önemli olmazsa olmaz temel konu ve ihtiyaçlarının başında gelmektedir. Her insanın asgari düzeyde finans bilgisine (şimdilerde okuryazarlık deniyor) sahip olması bireylerin refahı için gerekli olduğu kadar, genel ekonomi için de iyi bir şeydir; zira doğru bilgiye sahip olmak ve onu kullanmak verimliliği yükseltir. Bu nedenle artık “finans ve formüllerini” ilkokullarda öğrenmeye başlıyorlar.

 

Para, insanlık tarihinin en önemli icatlarından biridir. Paranın işlevlerinden ikisi, “değişim-değer ölçüsü” ile “tasarruf (birikim) vasıtası” olması özelliğidir. Para icat edilmemiş olsaydı hepimiz hâlâ iki bin yumurta ile bir cep telefonunu trampa edip, alışveriş, arpa-buğday stoklayarak, tasarruf ediyor olacaktık! İnsanlar ürettiklerinin bir kısmını tüketir, geri kalanını ileride harcamak niyeti ile saklarlar. Bu duruma gelinceye kadar paranın zaman değeri yoktur, ama daha fazla ekonomik faaliyet yapılacak ise finans ve finansal aritmetik bilimi gereklidir. Varlıkların değerleri "tanımlı bir birim" vasıtası ile ifade ediliyor, değişim bu birimler ile yapılıyor ve şayet harcama ve ödünçlük işlemleri de icra ediliyor ise; “paranın zaman değeri ve faiz” gibi şeyler artık icat edilmiş, demektir.

 

Bir şeyin fiyatı sabit değilse, ya enflasyon yada deflasyon vardır. Biliyoruz ki, pazar ekonomisi olan yerde paranın emtia ve varlıklar karşısındaki değeri değişkendir. Yatırımcılar, bir şeyin fiyatında hızlı artış bekliyorlarsa, diğer bir deyişle malın beta katsayısı 1’den büyükse, o şeyi satın alırlar. Şayet paraları yok ise, parası olandan, yani tüketmeyip tasarruf edenlerden kira bedelini ödemek sureti ile gerekli parayı kiralarlar. Paranın kira bedeline faiz deniyor. Ödünç para almak, aynı zamanda bir süre sonra (vadesinde – itfa tarihinde) alınan tutarı faizi ile birlikte geri ödeme yükümlülüğün de alındığı anlamına gelir. Bir ödünç para verme işlemi neticesinde “para sahibinin” belirli süre için harcama hakkının kısıtlanmış olduğunu da unutmayalım. Yani “tasarruf sahibi” borç vermek sureti ile henüz türev ürünlerin icat edilmediği bir dünyada, ilerde harcamak amacı ile tüketmediği gelirlerinin, yani mevcut parasının sağlayacağı faydalarının tümünden belli bir süreliğine vazgeçmiş olur. Diğer yandan kuş artık” çantada” değildir, geri dönmeyebilir. Dahası vade boyunca daha cazip harcama imkanları çıkarsa muhtemelen o da elden uçabilir. Yukarıda bahsedilen üç maliyetin; enflasyon, risk ve alternatif getirilerin bir hesabı, bir aritmetiği vardır; bu hesabın çıkan yüzdesel sonucuna “faiz oranı” deniyor. Her malda olduğu gibi ödünç paranın da (para da bir nevi maldır) fiyatı, piyasada arz talep dengesine göre belirlenir; ama paranın ana maliyete ne kadar yakın olduğu, fiyatın(faizin) sıhhati ve sürdürülebilirliği açısından çok önemlidir.

 

Risk maliyeti bazen faiz oranını belirleyen birincil faktör haline gelebilir. Yakın tarihte Yunanistan için uygulanan faiz oranları yıllık % 35 ile ifade ediliyordu. Parası Euro olan ve enflasyon riski sınırlı bir ülke için bu "fahiş" faiz oranının nerede ise tamamı "risk kaynaklı idi" denilebilir.

Bir anekdot: uzun yıllardır eğitim, seminer ve özel sohbetlerde insanlara, Türkiye'nin 1850'den itibaren çok pahalı ve vatandaşlar yararına uygun olmayan işler için dış kaynak kullandığından bahisle 1998'de Rusya'nın yaptığı gibi "konsolidasyon" seçeneğin kullanılması hakkında düşüncelerini sorarım.

 

Maalesef çoğunluk, "biz de yapalım" der. Bu genel kanaat ülkemiz risk puanının artmasına neden olan gizli bir gerçeğimizdir. "Pazarlık"ın borç ödeme zamanında değil, alınırken yapılması hususu ise fıtratı bir tercihtir.

 

Hesaplama

 

Prensip olarak faiz, vade sonunda anapara ile birlikte geri ödenir; borçlunun alacaklıya herhangi bir para iadesi durumunda, ödeme tutarından ilk önce faiz, sonra kalırsa - artarsa anapara mahsup edilir. Bir kerelik yapılan ödünç para işlemlerinde uygulanan faiz hesaplama işine “basit faiz” denir. Şöyle hesaplanır: yüzdeli oran önce kesre dönüştürülür, mesela % 3 = 0,03, binde üç buçuk = 0,0035 veya yüzde on = 0,1. Bu dönüştürmenin doğru yapılması çok önemlidir, zira faiz hesaplama hatalarının çoğu bu aşamada yapılır. Faizin ve faiz oranının sembolü (i)’dir. Faiz oranı çoğunlukla yıllık ifade edilir ve verilir. Eğer vade bir yıllık ise kullanım kolaylığı açısından verilen faiz oranı, önce 1(bir) ile toplanır, çıkan rakam “çarpandır”. Çarpan, anapara (şimdiki değer) ile çarpılırsa dönem sonunda (gelecekteki değer) elimize geçecek miktarı bulunur. Çarpanın formül görüntüsü : (1+i)’dir. Eğer vade bir yıldan farklı ve dönemsel faiz oranı verilmedi ise, önce “dönemsel faizi” bulmak gerekir. Bunun için parayı kullanma süresinin bir yıl içinde kaç kere olduğunu, yani tekrar sayısını buluruz. Mesela bir ay bir yılda on iki kere vardır. Tekrar sayısının sembolü (n)’dir. Dönemsel faizi bulmak için yıllık faiz oranını tekrar sayısına (n) böleriz. Formül görüntüsü: i/n. Basit faiz ve tüm diğer formüllerin temeli aynıdır: GD= BDx(1+i). İki yıllık vadede tekrar sayısının (n), 1/2 olduğunu hatırlatayım.

 

Ayrıca “bileşik faiz” vardır ve bu kavramsal bir ifadedir. Pratikte uygulaması olmaz. Bileşik faiz, vade ve faiz oranlarının farklı olduğu iki veya daha fazla seçeneğin bir diğeri ile mukayese edilmesine yardımcı olur. Bileşik faizde varsayım şudur: anaparaya ve faizine dokunmadan, birden çok kez faiz işlemi olduğu durumda -eşit vade ve faiz oranı şartı ile- bir yıllık süre için toplam getiriyi, karşılaştırabilir bir oranı ve rakamı buluruz. Bu işlem için önce dönemsel faiz, yukarıda anlatılan yöntemle bulunur, “ (1+i)ᵑ ” formülünün sonucu çarpanı verir. Bu çarpandan 1 (bir) çıkarılırsa ki bu “1” anaparamızı ifade eder, geriye kalan rakam bileşik getiridir; mukayese edilebilecek rakamlar bunlardır. Bulunan rakam, "Şayet hiç dokunmadan paramızı tekrar aynı faizle eşit vadelerde değerlendirse idik paramız 365 gün sonra ne kadar olurdu?" sorusunun cevabını gösteren çarpandır.

Gelecekteki bir parayı bugünkü değere indirgemenin adı genellikle iskonto olarak ifade edilir. Yada bugün elimizde olan paranın “tarihi” değerini bulmamız gerekebilir. Böyle durumlarda yıllık veya duruma göre dönemsel faiz oranı (i) belirlenir, sonra BD = GD/ (1+i)ᵑ formülü uygulanır. Gerçek değer ya da enflasyondan temizlenmiş fiyat hesaplamalarında (i) yerine "yıllık veya dönemsel enflasyon" oranları kullanılır.

 

Diğer ödünç para işlemi türü, eşit taksitli olanıdır; teknik adına anüite denir. Bu yöntemde “toplu para” (anapara) ya baştan ya da en sonunda alınır veya verilir. Yani bugün yapılan bir anapara işleminden kaynaklı borç, sabit "miktar, dönemsel faiz oranı ve aralıklarda" faizi ile birlikte iade edilir. Taksitlerin şimdiki değerini hesaplayan modelin değişkenleri: (i):dönemsel faiz, (a): taksit tutarı (anapara ve faizini kapsar), (n): taksit sayısı BD: alınan veya verilen borç miktarı- anapara. Bu modelde denklemin pay ve paydası var. Pay= [(1+i)ᵑ – 1] ve payda= [(1+i)ᵑ x (i)]. 

Kullanılan kredi tutarını bu çıkan rakama (çarpana) bölerseniz taksit tutarınızı bulursunuz. Elbette varsa BSMV, KKDF gibi vergileri dönemsel faize eklemeyi unutmadan. Tam tersi işlemi de bu formülle yapabilirsiniz: Aylık ödeme gücünüz ve taksit ödeme sabrınıza göre ne kadar kredi kullanabilirsiniz, sorusunun cevabı görmek için bulduğunuz çarpanı ödeyebileceğiniz taksit tutarı ile çarpınız. Unutmadan, bu modelde ilk ödeme, bir ay, üç ay, bir yıl vb sonunda yani periyot sonunda yapılır. Eğer bu ertelemeli bir kredi ise, yani bankaların kampanyalarda kullandıkları “ şimdi al beş ya sonra ödemeye başla” modeli ise formülde ufak bir değişiklik yapmak gerekir: paydada kullanılan (n)’i erteleme sayısı kadar arttırmalıyız. Yani ilk taksiti beş ay sonra ödeyecekseniz, zaten bir ay sonrası tanımda var idi, biz paydadaki (n)’i +4 yapmalıyız.

 

Diğer sorun ise finansal kiralama işlemlerinde kullanılan anüite formülünde çıkar; çünkü kural olarak kiralar peşin ödenir. Halbuki bizim modelde ilk taksit dönem sonlarında idi. Finansal kiralama işlemlerinde kira bedellerini hesaplarken yukarıdaki formülle bulduğumuz çarpanı(1+i) ile çarparak kullanmak gerekir.

 

İkinci bir anüite modeli ise daha çok para biriktirme amaçlı hesaplamalarda kullanılan tiptir. Bu işlemlerde her periyot sonunda yani her ay – her yıl vs. sabit bir rakamı öder, yatırır veya verirsiniz; en sonunda paranızı birikmiş faizleri ile geri alırsınız. Bu modelde de aralıklar ve faiz oranı sabit kabul edilir ve sonunda alacağımız para GD(gelecekteki değerdir). Çarpanı bulmak için kullanılan formülde pay, üst paragraftaki BD'i hesaplamada kullanılanla aynıdır, paydası ise sadece (i)’dir.

 

“Üstsel fonksiyonlu” hesap makinesi artık çoğu cep telefonunda mevcut. Şayet sadece dört işlem yapan bir hesap makinesine sahipseniz, küçük bir incelik ile bir şeyin herhangi bir kuvvetini hesaplayabilirsiniz: önce rakamınızı yazın mesela 1,02345, sonra çarpım işlemi butonuna iki kere arka arkaya dokunun ve kaçıncı kuvveti alacaksanız bir eksiği kadar eşittir tuşuna basın. Hepsi bu kadar.

 

Faiz kavramı kapsamında yukarıdakilerin dışında da muhtelif tip ve tanımlar vardır. Sabit faiz, değişken faiz, adat, referans ve referanslı faiz, nominal faiz, reel faiz, iç – dış faiz, gerçek faiz, reeskont vs. Ayrıca, temerrüt, akdi, yasal, net, brüt, vergili, vergisiz, YP (FX) faizi gibi tanımları da bilmek gerekir. Kısa vade, uzun vade, faiz eğrisi, kredi faizi, mevduat faizi, TCMB faizi, piyasa faizi, cari hesap faizi, adi faiz, ticari faizler de vardır, LIBOR, TİBOR vs...

 

Yukarıdaki tanımlardan reel faiz, en çok hesaplama hatası yapılanıdır. Enflasyondan arındırılmış faiz demektir. Arındırmak için iki formül vardır. Pay: (1+i), payda: (1+enflasyon oranı). Pay paydaya bölününce bulunan rakamdan, 1(bir)'i çıkarırsak kalan reel faizdir. Bazen rakam ( - ) eksi çıkar, buna negatif reel faiz denir.

 

“Faiz eğrisi” ise, kısa – uzun vade faiz oranları kıyaslamasında, belirsizlik ve dolayısı ile risklerin artması sebebi ile, uzun vadeli faizin daha yüksek olduğunun “şekilli” ifadesidir.

 

“Faiz oranı ve gelecekteki yönü” sadece iktisadi kararlar ile hayatımızın finansal yapısını birinci derecede etkilemez, fakat aynı zamanda sosyal ilişkilerimizin üzerinde de etkili olabilir. Faiz oranının yatırım kararları, her türlü fiyatlandırma, şirket kârları, şirket değerleri, borsa, piyasalar, tüketim, döviz kuru, üretim, hayat standardımız ve hatta psikolojimiz üzerinde bile dahli vardır.  

 

Ülkemiz için nedense hayati öneme sahip dolar (döviz) fiyatlarının, yani TL’nin diğer ülke para birimlerine göre değerinin oluşmasında faiz oranlarının büyük etkisi vardır. YP ve TL’nin faiz oranları döviz kur’unu şöyle etkiler: faizini yükselten ülkenin parası başta değer kazanır çünkü bu paraya talep artar; sonra düşer. Faizi diğer ülkelere kıyasla daha yüksek olan paranın, orta ve uzun vadede değerini kaybetmesi kaçınılmazdır. Tüm vadeli piyasalarda en etkin faktör olan “faiz farkı hesaplamaları” adeta bir fizik kanunu gibi “en baskın ve etkili” unsurdur. Vadeli işlemler, yani “türev ürünlerin” iki parametresi vardır: spot fiyatlar ve faizler. Neticede bir malın vadeli fiyatını belirleyen şeylerden sadece bir tanesi piyasa fiyatıdır. Gelecekteki fiyat ise kaçınılmaz şekilde anlık (spot) fiyatları etkiler. Bu nedenledir ki Hükümet'imiz geçenlerde FOREX işlemlerde teminata göre işlem miktarı oranlarını yüzde doksan oranında düşürme kararı aldı.

 

Yatırım kararları alırken, yatırımın kârlılığı etkileyen en etkili rakam sanıldığı gibi ham madde, pazar talebi vs değil, piyasa ”iskonto – faiz” oranlarıdır. Yatırım değerleme ve karar verme yöntemlerinden anlamlı olanların tümünde “paranın zaman değer”i, yapılan hesapların içindedir ve yatırımın fizibilitesinin en önemli değişkenidir. İngilizcesi ile IRR, bizde iç verim (getiri) oranı olarak adlandırılan İVO, bir yatırım kararı için en önemli "kıyaslama" rakamı haline gelmiştir. 

 

İVO, toplam yatırım maliyetini, bu yatırımın gelecekteki nakit girdilerini eşitleyen iskonto oranı (i)’dir; ne kadar yüksek ise o kadar iyidir. Ve de IRR alternatif getirilerden ve ortalama sermaye maliyetinden yüksek olmalıdır; aksi halde kimse “bu yatırımı” yapmaz. Bu nedenledir ki ekonomi yönetimi, istihdamın artması için aşağıdaki paragraftaki sebep ile beraber mütalaa ederek faizlerin düşmesini arzu etmekte ve istemektedirler. Halbuki finans aritmetiği gereği faiz oranı düşerse önce varlık değerleri artar ki bu durum kısmen enflasyona benzer ve onu tetikler. Bu duruma, yani enflasyon oranlarının yükselmesine sebep olan faktör sadece hesabi değil, aynı zamanda psikolojiktir; “kredi maliyeti ucuz, bu düşük mevduat faizi ile ne diye tasarruf edelim” gibi düşünceler ve eğilimler etkili olmaya başlar.

 

İnsanların tasarruf yapma nedenlerinin başında istikbal endişesi gelir. İkinci başat güdü ise, tasarruf yaptığında bugün harcamaktan vazgeçtiği şeylerin fazlasını gelecekte alabilme imkanının, yani hem yüksek hem de pozitif reel faizin mevcut olmasıdır. Demek ki faizin yüksek olduğu hâlde insanlar tüketimi kısıyor; tersi de doğru elbette. Faizler düşük ise insanlar, tüketime yöneliyor; bu durum piyasayı ve dolayısı ile yatırımları canlandırıyor. Yukarıda bahsedilen faizin, konfor, psikoloji gibi şeylere etkisini izah için yazılan bir açıklamadır aynı zamanda bu cümle. Görüldüğü gibi, “azıcık aşım, ağrısız başım” diyerek finansal aritmetiğin etkilerinden kurtulmak pek mümkün olamıyor.

 

Bilindiği gibi “batılı bankacıların” oluşturduğu temel bir düzen içinde çalışan “İslami Bankacılık”, diğer adı ile Faizsiz Finans”, yeni tanımlaması ile “Katılım Bankacılığı” ekonomik hayatımızın içinde var. Bir katılım bankasına paranızı teslim ettiğinizde size faiz vermiyor; onun yerine “kâr payı” veriyor. İşletmenize veya şahsınıza para lazım ise, nakit kredi kullandırıp faiz almıyor, onun yerine ihtiyacınız olan ticari malı sizin için satın alıyor, üzerine “uygun” bir kazanç koyarak size satıyor. Bu “ticari” fark elbette “vade ve piyasa faiz” oranları ile kuvvetli “korelasyona” sahiptir. Bilindiği gibi faiz (riba) sadece İslam’ın haram kıldığı bir olgu değildir, aynı zamanda Yahudi Kanunlarınca da (ribbit) yasaklanmıştır. 

 

Finans Aritmetiğine ilişkin yukarıda yalnızca birkaç adet formül ve izahı verilmiştir. Halbuki finans kitaplarında, özellikle matematikçi ve mühendis kökenlilerin yazdıkları “Finansal Matematik” isimli eserlerde, gelişmiş ve bol sayıda farklı tanım, formül ve hesaplama modelleri vardır. Kişisel işler ve hatta finans yöneticiliği işlemleri için bu yazıdaki bilgileri ve gereksinime göre geliştirilmiş hâli ile birçok ihtiyaca cevap bulmak mümkün olacaktır.

 

“Piyasa Faiz Oranının” seviyesi saf liberal kapitalist sistemde arz talep dengesi sonucu belirlenir. Ancak siyasi otorite ister istemez bütçe yani “harcama hakkını” kullanmak sureti ile "mali ve finansman" politikaları etkisi ile paraya ve fiyatına müdahale eder. Ancak faizin seviyesini asıl belirleyen faktör enflasyondur. Uzun süre enflasyon oranından bağımsız faiz politikası sürdürmek çok zordur ve yan etkileri getirdiği çareden daha ağır olabilir. Ülkemizde bir türlü düşemeyen faiz oranının sebebi yüksek enflasyondur. Bu ilişkide “tavuk – yumurta” kısır döngüsü yoktur. Yüksek faizin, “enflasyonu”, kredi kullanan işletmelerin finansman maliyeti ve vade sonlarında ele geçen faizin ek harcama imkanı yaratması nedeniyle fiyatları yukarı çekme olasılığı vardır ama bu rakam, hem küçüktür, hem de rekabet ortamında asıl fiyat belirleyici olan aktör arz talep dengesidir.

 

Bir ülkenin kalkınmasını ve ekonomik gelişmişliğini etkileyen şey tek başına para politikaları ve faiz oranı değildir; illa özet cevaplar arıyorsak bunlar, kamuda “basiretli yönetim” ve işletmelerimizde verimliliktir. 

 

Unutmadan son anekdot: 1998 Rusya Krizinde CNN'de genç bir borsacının moratoryum ilan eden Rusya Federasyonunu yola getirir düşüncesiyle "savaş gemilerimiz ne güne duruyor" diye sorması üzerine, tecrübeli olan diğer borsacı " Rusların 2000 adet nükleer başlıklı füzesi var" cevabını vermişti.

 

 

Şerif Elender

Performans Danışmanı ve Eğitmeni

15 Nisan 2017

 

Her hakkı mahfuzdur. İzinsiz hiç bir şekilde kopyalanamaz ve yazarın ismi zikredilmeden alıntılanamaz.

İstanbul, Türkiye        +90 216 709 38 89         performans@strata.com.tr

  • LinkedIn Sosyal Simge
  • YouTube Sosyal Simge

21 yıl | 560 kuruluş | 111,000 profesyonel